Olá, realizei algumas alterações, primeiramente coloquei esse conjunto de "mostra" em uma função, pois creio que ela é quem você queria chamar ao clicar no botão, e depois devemos mudar o "input" dentro do mostra para "input.value" para que ele receba o valor que você colocou, e não o evento como parâmetro. Caso tenha alguma dúvida a respeito do que ele recebe você pode tentar fazer testes usando o comando "console.log", por exemplo colocando: "console.log(input)" e "console.log(input.value)", dentro da funcão chamada pelo botão, para ver a diferença.

<input/>
<button>Calcular</button>


<meta charset = "UTF-8">

<script>

function pulaLinha () {
    document.write("<br>");
    document.write("<br>");
}

function mostra (contagem) {
    document.write(contagem);
    pulaLinha();
}

var input = document.querySelector("input");
input.focus();

function tabuada(){
// aperte f12 no navegador para ver o resulado do console.log.
console.log(input.value);
console.log(input);

mostra(input.value * 1 );
mostra(input.value * 2 );
mostra(input.value * 3 );
mostra(input.value * 4 );
mostra(input.value * 5 );
mostra(input.value * 6 );
mostra(input.value * 7 );
mostra(input.value * 8 );
mostra(input.value * 9 );
mostra(input.value * 10 );



}


var button = document.querySelector("button");
button.onclick = tabuada;

</script>