Está assim java.util,Map ou assim java.util.Map no import ?

Não. Segue a minha classe...

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Map;

public class Banco {
    List<Conta> contas = new ArrayList<Conta>();
    private Map mapa;

    public void adiciona(Conta c){
        contas.add(c);
    }

    public Conta pega(int x){
        return contas.get(x);
    }

    public int pegaQuantidadeDeContas(){
        return contas.size();
    }

    public Conta buscaPorNome(String nome){
        return contas.equals(nome);
    }
}

Estou sem o eclipse aqui. Compilei pela linha de comando e não apareceu erro algum. Qual é a versão do JAVA e do ECLIPSE ?

versão do JAVA: 1.8.0_91

A do Eclipse eu não sei qual pegar... quando abro o Eclipse aqui da empresa aparece o ícone Java EE IDE.

Olá Daniel,

Provavelmente você está tendo um problema com sua versão do Eclipse, para você saber qual versão você está utilizando você pode ir em Help->About Eclipse, no meu caso exibe o seguinte texto no começo:

Eclipse Java EE IDE for Web Developers.

Version: Neon.2 Release (4.6.2)
Build id: 20161208-0600

Portanto a versão do meu Eclipse é a Neon.2, dá uma conferida aí pois pode ser que você esteja com a versão Indigo que não dá suporte ao Java 8, portanto eu recomento você utilizar a versão Neon

Espero ter ajudado.

Opa, João! Obrigado pela ajuda e, realmente, a versão do Eclipse que estou usando é Indigo. É o que é usado aqui no trabalho. Então acho melhor não mexer, pois não sei se pode gerar algum conflito.

Eclipse Java EE IDE for Web Developers.

Version: Indigo Service Release 1 Build id: 20110916-0149