Eu não entendi a real diferença entre uma função com parâmetro e a sem parâmetro.

Olá, Vitor! Tudo bem?

Os parâmetros de uma função são valores recebidos para serem tratados dentro do código da função, podendo assim alterar o resultado final dela. Já uma função sem parâmetros não receberá valores que poderão ser tratados nela e terão um retorno "fixo" (isso na verdade pode variar dependendo do contexto e o que já é utilizado na função mas por agora considere essa diferença).

Podemos exemplificar no seu código por exemplo. Na função "mostra(mensagem)" o parâmetro "mensagem" é recebido e utilizado no "document.write(mensagem)" dentro dela. Se alterássemos o código para que ela não recebesse parâmetros ela ficaria assim:

function mostra() {
        pulaLinha();
        document.write(mensagem);
        pulaLinha();
    }

Nesse caso, mesmo se ao ao chamar a função você passasse o "Minha idade é: " + minhaIdade + " anos" você receberia um erro pois "mensagem" não foi definido como parâmetro e ela não esperava tratar isso.

Apontando para a dúvida que deixou no comentário dentro do código, basicamente o parâmetro "mensagem" é um portador para qualquer valor externo à função que você passar ao chamá-la. É apenas uma maneira de informar onde que você quer utilizá-lo dentro da função através do nome que deu ao parâmetro na declaração da função.

Recomendo experimentar criando funções que recebam mais de um parâmetro e os manipule dentro dela, como uma função que receba dois números e retorne a soma deles ou outras operações matemáticas. Isso vai ajudar a solidificar o entendimento.