O aviso mostrado na imagem indica que o módulo punycode está obsoleto, mas isso não deve impedir a execução do servidor. O problema real parece ser a ausência da mensagem de conexão com o banco de dados.

No arquivo onde a conexão com o banco é estabelecida (server.js ou database.js), adicione um console.log antes e depois da tentativa de conexão para ver se o código está sendo executado:

console.log("Tentando conectar ao banco...");
mongoose.connect("mongodb://localhost:27017/nomeDoBanco")
    .then(() => console.log("Conectado ao MongoDB!"))
    .catch(err => console.error("Erro ao conectar:", err));

No terminal, tente iniciar o serviço manualmente:

mongod

Rode:

npm install

Se o erro persistir, poste mais detalhes, incluindo logs adicionais.