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Solucionado
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Opa, não sou especialista em php, mas acho que posso ajudar... minha sugestão: primeiro verifica a url que está sendo formada no seu javascript na hora de deletar, só para você ter certeza que tá carregando o endereço correto mesmo.
Se concluir que tudo deveria estar como o esperado, baixa um plugin para o chrome chamado postman e testa um delete para a url montada em questão... se realmente o lado servidor estiver funcionando, ele vai disparar.
O que causa o erro 404?
As causas mais comuns que levam ao erro 404 são:
Endereço digitado incorretamente.
Página tirada do ar, ou seja, o endereço existia antes, mas agora não existe mais.
Página cuja URL foi alterada.
Sua URL está errada.
Observe que você está enviando os dados para...
http://localhost/neppo/slim/api.php/cadastro4...contudo, não existe /cadastro4 e sim /cadastro/4.
Altere sua URL ao fazer requisição AJAX :)