Encontrei o erro

A variavel var totalGastoComEventos = 0; precisa ficar fora do while, pois se ele estiver dentro da while o programa sempre vai repeti o valor 0 na contagem.

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<script>

    function pulaLinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

    var totalDeEventos = parseInt(prompt("Informe o total de eventos"));

    var contador = 1;
    var totalGastoComEventos = 0;
    while(contador <= totalDeEventos) {

        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }
    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;

    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>