Oii, Dev! Tudo bem?
Espero que esteja gostando do curso até agora! Respondendo a sua pergunta, quando você executa o comando npm install, todas as dependências listadas no arquivo package.json são baixadas e instaladas em sua máquina. Isso inclui o TypeScript e outras bibliotecas que você possa utilizar em seu projeto. 
Porém, para começar a codificar em TypeScript, você precisa configurar o seu ambiente de desenvolvimento. Isso envolve a criação de um arquivo de configuração tsconfig.json e a definição de um script de compilação em seu arquivo package.json. 
O comando npm run server que você mencionou não é necessário, mas é recomendável para começar a codificar em TypeScript. Esse comando é utilizado para iniciar um servidor local, que pode servir para testar sua aplicação em um ambiente de desenvolvimento. 
Espero ter esclarecido suas dúvidas! Caso ainda tenha alguma pergunta, estarei à disposição para te ajudar. 
Bons estudos!
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