Dúvida - O que é um loop infinito?

Oi, Flávio! Tudo bem?

A diferença acontece por causa da ordem em que o Python executa as linhas dentro do laço while.
Vamos entender passo a passo:

Primeiro caso:

contador = 0

while contador < 10:
    print(f'Processando dados ...{contador}')
    contador += 1

Aqui o Python primeiro imprime o valor atual do contador, e só depois soma +1.
Então o laço começa com contador = 0, imprime 0, depois vira 1, depois 2... e para quando chega a 10, porque o while contador < 10 não é mais verdadeiro.
Por isso o resultado vai de 0 a 9.

Segundo caso:

contador = 0

while contador < 10:
    contador += 1
    print(f'Processando dados ...{contador}')

Nesse caso, o Python soma primeiro (contador += 1) e só depois imprime.
Ou seja, logo na primeira volta, o contador já passa de 0 para 1 — e por isso ele imprime de 1 até 10.
Quando o contador chega em 10, o while contador < 10 ainda é verdadeiro (porque ele soma antes de testar de novo), então ele ainda imprime o 10 antes de parar.

Resumindo:
A diferença está na ordem das ações dentro do laço:

Se você imprime antes de somar, começa do 0.

Se você soma antes de imprimir, começa do 1 (e vai até 10).

Olá, Flavio!
Vamos entender a lógica passo a passo:

Caso 1 — incremento depois do print

contador = 0

while contador < 10:
    print(f'Processando dados ...{contador}')
    contador += 1

Aqui, a execução acontece nesta ordem:
Começa com contador = 0
Verifica se contador < 10 - Verdadeiro
Imprime Processando dados ...0
Incrementa (contador += 1) - contador passa a ser 1
Volta para o while e repete.
Resultado: o primeiro valor impresso é 0, o último é 9 (porque quando contador chega a 10, a condição contador < 10 se torna falsa, e o laço para).

Caso 2 — incremento antes do print

contador = 0

while contador < 10:
    contador += 1
    print(f'Processando dados ...{contador}')

Agora, a ordem muda:
Começa com contador = 0
Verifica se contador < 10 - Verdadeiro
Incrementa primeiro - contador passa a ser 1
Imprime Processando dados ...1
Volta para o while e repete.
O detalhe está no último ciclo: quando contador vale 9, ele ainda satisfaz a condição 9 < 10.
Entra no laço, incrementa - contador vira 10.
Depois imprime Processando dados ...10.
Só então, ao voltar ao topo, contador < 10 é falso, e o laço para.
Resultado: o primeiro valor impresso é 1, o último é 10.

Se quiser que ele vá de 1 a 10 mas ainda comece com 0 no contador, você pode ajustar a condição do while:

contador = 0

while contador < 10:
    contador += 1
    print(f'Processando dados ...{contador}')

Ou, para imprimir de 0 a 9, mas escrever o incremento antes, basta ajustar a condição para while contador < 9: Assim o último valor impresso será 9.