Oi, Luidi!
Estranho... esse é um comportamento inesperado, o normal é que quando estamos codando, o live server automaticamente salve essas mudanças. Mas isso pode ser causado por algumas configurações ou comportamentos específicos do Live Server ou do próprio navegador.
Então, verifique se há alguma configuração específica no Live Server que possa estar causando isso. Você pode acessar as configurações do Live Server no VS Code e verificar se há alguma opção relacionada à atualização automática que possa ser ajustada.
Outro ponto é que é importante verificar se o VS Code está configurado para salvar automaticamente os arquivos.
Por fim, tente desinstalar e instalar o live server.
Espero ter ajudado e bons estudos!