Lucas,
Não sei se entendi bem sua pergunta. Parece que tem vários questionamentos aninhados. Mas vou tentar responder o que entendi.
Você não vai configurar o roteador como servidor DNS, mas precisa indicar qual será esse servidor nas configurações do DHCP para que as máquinas clientes DHCP configurem automaticamente quem será o servidor DNS.
Você pode ter um servidor DNS na sua rede, ou utilizar algum outro servidor público (Google, Cloudflare etc). Apenas para acessar a internet, a segunda opção é mais rápida e prática, mas se você precisa administrar um domínio, ou precisará de servidores próprios (autoritativos) do seu domínio ou pagar um servidor DNS para fazer os apontamentos para seus serviços, página web, por exemplo.
Na maioria das vezes, na configuração de um roteador wireless doméstico, as informações de DNS já vem na configuração que seu provedor vai passar por DHCP para você, geralmente são os servidores DNS da estrutura dele. Mas pode acontecer de configurarem os DNS do Google. De qualquer modo, você mesmo pode escolher alterar os servidores DNS no seu roteador para os do Google (8.8.8.8 e 8.8.4.4) se for do seu interesse.