Os códigos das alternativas corretas abaixo, estão corretos? No campo data falta converter para JSON (ou XML), não? A não ser que a função .toMap() já faça isso internamente:

class ConsultaService {
  Dio dio = Dio();

  Future<void> editarConsulta(Consulta consulta) async {
    final response = await dio.put(
        'https://api.clinicavoll.com/consultas/${consulta.id}', 
        data: consulta.toMap(), // aqui
    );
    if (response.statusCode == 200) {
      print("Consulta alterada com sucesso.");
    } else {
      print("Erro ao alterar consulta.");
    }
  }
}

class ConsultaService {
  Dio dio = Dio();

  Future<void> registrarConsulta(Consulta consulta) async {
    final response = await dio.post('https://api.clinicavoll.com/consultas', 
        data: consulta.toMap(), // aqui
    );
    if (response.statusCode == 200) {
      print("Consulta registrada com sucesso.");
    } else {
      print("Erro ao registrar consulta.");
    }
  }
}