Olá Thaís,
Você poderia utilizar uma função que gera um random, especificando um valor máximo (limitado ao tamanho do array)
function getRandomInt(max) {
return Math.floor(Math.random() * Math.floor(max));
}
var nomes = ["julia", "roberto", "teo", "luiza"];
var max = nomes.length; //4
nomes[getRandomInt(max)]
//"roberto"
nomes[getRandomInt(max)]
//"teo"
nomes[getRandomInt(max)]
//"julia"
A função especificada gera números aleatórios de 0 até o máximo especificado no parâmetro, não incluindo o valor máximo, ou seja, se passamos o valor 4 (correspondente ao length do array), a função vai retornar 0, 1, 2 ou 3.
Abraços!