A forma mais simples para diferenciar ambos é recorrer à definição de usuário, conforme discutida no início do curso: usuário é quem (ou o que) usufrui das utilidades.
No caso de um desenvolvedor de apps, o cliente é a empresa que contrata o desenvolvedor (é quem "patrocina" o app/quem contrata o serviço do dev), mas o usuário é a pessoa que irá de fato usufruir das aplicações (é quem instala e usa o app).
No caso de um caixa eletrônico, como colocado pelo instrutor Natan, o cliente é a pessoa que contrata o serviço do banco, e o usuário é quem utiliza a máquina (caixa eletrônico) - neste caso, cliente = usuário.