Oi Marcelo,
Você precisa apenas de algum provedor que tenha suporte ao Java e que tenha um banco de dados MySQL. O tomcat não é necessário, pois ele estará embutido na aplicação.
A única coisa que você precisará fazer é o upload do jar
da aplicação no servidor de hospedagem e rodar o projeto via linha de comando:
java -jar seuarquivo.jar
Pra acessar o projeto do browser, você precisará saber o endereço IP do seu servidor, e pode comprar um domínio e configurá-lo também, para não ter que ficar digitando o endereço de IP no browser.
Os serviços de hospedagem que conheço e que suportam Java são:
Tem também a opção de hospedar em algum provedor de Cloud, como Amazon, Openshift, Heroku, etc.
Geralmente esses serviços disponibilizam um painel
de controle para você gerenciar sua aplicação de maneira mais simples.
Dá uma pesquisada a respeito.