Consigo passar valores dos construtores em uma variavel fora dos parenteses?

Olá, Felipe!

Não sei se entendi direito, sua dúvida, mas vamos lá.

Para sua ideia funcionar, as propriedades deveriam ser públicas:

    public class Conta
    {
        public string Numero { get; set; }
        public string Agencia { get; set; }
        public string Nome { get; set; }
        public Conta(string nome)
        {
            this.Nome = nome;
        }
    }

E então você poderia usar a sintaxe abaixo:

            Conta conta = new Conta("fulano de tal")
            {
               Agencia = "111",
               Numero = "123456-7"
            };

O que nada mais é do que um "açúcar sintático" (syntax sugar), isto é, uma maneira conveniente de escrever o código abaixo:

            Conta conta = new Conta("fulano de tal");
            conta.Agencia = "111";
            conta.Numero = "123456-7";

Mas não sei o que você quer dizer com "eu não poderia deixar o parametro Nome, como hardcode". Sobre o objeto Conta do exemplo, eu acho recomendável que os 3 parâmetros sejam incluídos no construtor, e sejam testados por validações (exemplo: nome, agência e número não podem ser nulos nem vazios. Agencia deve ter um certo número de caracteres e Numero deve ter um formato válido). Se esses requisitos não forem satisfeitos, você lança uma exceção de parâmetro inválido (InvalidArgumentException) impedindo o instanciamento do objeto. Caso contrário, você pode acabar tendo objetos Conta inválidos. A não ser que haja um bom motivo para não conter validações, como por exemplo, se a classe conta for um DTO (Data Transfer Object).