Boa tarde Caio.
Vamos exemplificar assim, imagine que a internet são todos os restaurantes possiveis em uma cidade, contudo por conta da pandemia voce não pode sair de casa (private), então usa o iFood para pedir a sua comida.
O ifood nesse caso é um portal (gateway) entre você e os restaurantes (internet).
Sendo mais técnico:
NAT gateway é a forma de conectar as maquinas que estão na rede privada na internet. Note que o NAT Gateway é apenas para SAIDA da internet (o iFood serve apenas para o cliente pedir para o restaurante, não o restaurante para o cliente).