Como mostrar à partir do desejado?

Não entendi sua pergunta, o que exatamente você quer consertar no código?

Boa tarde lailson, gostaria de fazer o programa mostrar apenas os números à partir do número inicial indicado, no momento ele mostra todos à partir do 0, até o último desejado apenas.

Fiz umas alterações, saca só: Criei uma função exclusivamente para pular linha e depois inclui ela na função mostra. Depois retirei a variável "Contador", pois o seu contador já é o número inicial. A partir daí é só criar a condição numeroInicial <= numeroFinal e imprimir o resultado, depois você incrementa mais 1 ao valor usando ++ e repete, até chegar ao valor do numeroFinal.

<meta charset="utf-8">
<script>

function pulaLinha(){

    document.write("<br>");
}

function mostra(frase){

    document.write(frase);
    pulaLinha();

}

var numeroInicial = parseInt(prompt("Indique o número inicial da contagem desejada"));
var numeroFinal = parseInt(prompt("Indique o número final da contagem desejada"));

mostra("Os números de " + numeroInicial + " à " + numeroFinal + " são:")


    while (numeroInicial <= numeroFinal) {

            mostra(numeroInicial);
            numeroInicial++

    }

    mostra("Fim")

</script>