Código que não funciona

Eduardo, a função parseInt() converte as strings para inteiro. Você deve usar parseFloat(), pois peso e altura possuem casas decimais (ex: 62.7 kg e 1.71 m).

Faz um teste aí e dá um retorno.

Abraço.

Olá Eduardo! Parabéns pela iniciativa de ir testando novas possibilidades. Fiz algumas pequenas alterações no seu código, dá uma olhada abaixo:

<meta charset="UTF-8">

<script>
    function mostra(mensagem) {
        document.write(mensagem);
        document.write("<br><br>")
    }

    // function calculaMedia(nota1, nota2){
    //     return (nota1 + nota2) / 2;
    // }

    var nome = prompt("Qual o seu nome?");
    var pesoInformado = parseFloat(prompt("Qual o seu peso?"));
    var alturaInformada = parseFloat(prompt("Qual a sua altura"));

    function imcCalculado(peso, altura) {
        return (peso / (altura * altura));
    };
    var imc = Math.round(imcCalculado(pesoInformado, alturaInformada));

    mostra(nome + " seu IMC é " + imc + "!");

    if (imc > 35) {
        var imcMais = imc - 35;
        var pesoMais = imcMais * (alturaInformada * alturaInformada)
            // var precisoPerder =  pesoInformado - pesoMais;
        mostra("Você precisa perder " + pesoMais + " quilos para entrar no estado saudável");
    };
    if (imc >= 18.5 && imc <= 35) {
        mostra("Parabéns, você está dentro da faixa recomendada!");;
    }
    if (imc < 18.5) {
        var imcMenos = 18.5 - imc;
        var pesoMenos = imcMenos * (alturaInformada * alturaInformada)
            // var precisoGanhar = pesoInformado + pesoMenos;
        mostra("Você precisa ganhar " + pesoMenos + " quilos para entrar no estado saudável");
    };
</script>

1. As linhas que coloquei como comentário (//) são trechos de código que não são necessários para o funcionamento do seu programa.

2. Troquei o parseInt pelo parseFloat. O parseInt vai te retornar um número inteiro, então, neste caso, o cálculo fica impreciso. Veja só, se você colocar o peso como 110 e a altura como 1.7 o parseInt vai converter esse 1.7 em 1 e assim o seu imc vai ter como resultado 110 / (1 * 1) = 110. Com o parseFloat esse 1.7 será entendido como 1.7 mesmo e o seu imc vai ter como resultado 110 / (1.7 * 1.7) = 38.6022..., ok?

3. Também coloquei a função Math.round() no cálculo do imc para que o retorno fosse um número arredondado, assim o resultado dos dados inseridos acima será Math.round(110 / (1.7 * 1.7)) = 38.

4. As variáveis precisoPerder e precisoGanhar não retornam o que você pretende com elas, elas retornam o peso ideal, porque na verdade o que você precisa perder é o que está na variável pesoMais e o que você precisa ganhar é o que está na variável pesoMenos e são elas que devem ser passadas para a função mostra(). Dá uma revisada na sua lógica e verifica se consegue enxergar essa diferença. Não troquei os nomes para justamente deixar mais claro a mudança, mais o ideal é a variável pesoMais se chamar precisoPerder e a variável pesoMenos se chamar precisoGanhar.

5. Essa lógica de precisoPerder e precisoGanhar coloquei dentro dos ifs para justamente serem calculadas somente quando necessário. Neste programa simples isso não faz muita diferença, mas em programas mais complexos ganha-se muito em tempo de processamento, então já é bom ir pensando nisso também, ok?

Espero que tenha entendido esses pontos e se sua dúvida foi sanada marque o tópico como solucionado, assim você ajuda outros colegas com a mesma dúvida.

Abraços e sucesso nos estudos!