Cinco raízes reais coincidentes?

Olá Rafael, tudo bem com você??

Aos 3min50 da vídeo aula o professor informa sobre essa questão do polinômio conforme transcrição da aula:

"[03:19] Muito bacana isso. Mas, e aí? Se eu tiver um polinômio com essa cara: “1+2x²+x5 – 0.05x7”. Pessoal, nós não temos fórmula geral, os matemáticos provaram isso há muitos anos atrás, começando as investigações com Évariste Galois - que foi um grande matemático francês - há dezenas de anos atrás. Você não tem uma fórmula geral para encontrar as raízes de polinômios de grau genérico.

[04:00] Se você passar para “n = 5” a diante, pode esquecer. Você tem fórmulas fechadas para “n = 1”, “2”, “3” ou “4” em casos muito particulares. Grau 5 você teria só se você não tivesse mais ninguém. Por exemplo: se você tivesse esse termo, você poderia achar mas se você tiver uma mistura, pode esquecer. Não existe uma fórmula geral ou um algoritmo com um número infinito de passos para encontrarmos as raízes de um polinômio assim.

[04:34] Você vai perguntar: "Professor, o que eu faço?" Eu vou ler esse quadro para nós, eu vou fazer "uma inspeção a um gráfico bem feito dessa função" e isso vai me indicar onde se encontram as raízes ou, pelo menos, uma parte delas. Se o gráfico for muito complicado eu preciso fazer um gráfico bem extenso para ele ir encontrando as diversas raízes. Porque eu posso ter muitas e um polinômio de grau 9. Eu vou ter “9” raízes."

O método regra de Ruffini, trata em efetuar a divisão fazendo cálculos apenas com coeficientes e só serve para divisões de um binômio, ou seja, possuem dois monômios, dois termos. Importante destacar que eles são separados pelo sinal de positivo (soma) ou negativo (subtração).

Exemplos:

• a² - b² • 3x + y • 5ab + 3cd²

A nossa função utilizada no exemplo é um polinômio! F(x) = 1 + 2x² + x^5 - 0.05x^7 e ele informa que seria necessário uma análise mais criteriosa em cima das raízes, mas este não era o foco dessa aula, e por isso não foi feito a identificação de cada uma, apenas a apresentação da ferramenta Desmos.

Na sequência da nossa formação você verá nossos cursos que tratam de Derivadas e Integrais e então o entendimento do que foi passado ficará mais claro, além do processo de simplificação das funções.

Espero ter te ajudado e qualquer dúvida é só retornar aqui! Bons estudos.

Gostaria de saber d onde vc retirou a referencia da regra de Ruffini, bem, eu conheço o algoritmo a anos (usei em boa parte da minha graduação) e sim, serve para a divisão de polinômios por um binômio (representado pela raiz), e quando o polinômio é dividido por uma raiz, o resto da divisão é zero preservando as outras raízes do polinômio, sendo uma ferramenta poderosa para reduzir a ordem do polinômio e encontrar todas as raízes

Exemplo:

p(x) = (x+1)(x²+1)

q(x) = (x+1)³

Ambos os gráficos só passam no ponto -1, mas uma característica muito importante (que é ressaltado com os estudos de Derivada), na função q(x), o ponto -1 é ponto de inflexão, isto é que a sua primeira derivada também possui uma raiz em -1 (e a segunda derivada também) e consequentemente existe mais de uma raiz nesse ponto. Já a função p(x) passa apenas nesse ponto mas sem ter ponto de inflexão (Sua derivada não possui raízes REAIS)

Aplicando o Algoritmo de Briot-Ruffini dividindo ambos os polinômios pelo binômio (x+1), os novos polinômios que obtemos são

p*(x) = (x²+1)

q*(x) = (x+1)²

O polinômio p(x) não possui raízes reais mas duas raízes conjugadas complexas em -i e +i enquanto o polinômio q(x) mantem tendo raiz em -1, alem de ter um ponto de inflexão indicando que possui mais raízes no mesmo ponto

Oi Rafael! Eu aprendi Ruffini na escola com a minha professora Laurinha rs Eu compreendo o que você falou e sim ele é utilizado para divisão de polinômios, com certeza! O que eu quis dizer é que a intenção do professor não foi de entrar nesse mérito realmente da resolução naquele exemplo, e sim, apenas mostrar o Desmos.

Agradeço muito sua atenção e colaboração e ainda que você domine, que de alguma forma os cursos tenham te agregado mais conhecimento ainda!