Olá, William, tudo bem?
Desde já peço desculpas pela demora no retorno a sua mensagem.
Para que a sua aplicação chame automaticamente o endpoint após a inicialização do container, você pode utilizar o recurso de Health Checks
do ASP.NET Core. Os Health Checks permitem que você verifique o estado da sua aplicação e execute ações com base nesse estado.
Você pode criar um Health Check personalizado que faz a chamada para o endpoint desejado. Por exemplo, você pode criar um Health Check que verifica se a sua aplicação está online e, em seguida, chama o endpoint "/api/AttendantManager/Start
". Para isso, você pode utilizar a biblioteca Polly, que é muito útil para lidar com resiliência em chamadas de API.
Todavia, vale ressaltar que como você postou sua pergunta há algum tempo é possível que a constante evolução da tecnologia impacte na resolução da sua dúvida. Sendo assim, caso queira se aprofundar neste tema e com conteúdos atualizados, recomendo os materiais abaixo:
Espero ter ajudado.
Abraços e bons estudos!