Aula: 03 - Atividade 06 - Derivada - Exemplo real

Olá Marcio, tudo bem com você?

Não entendi, quando no vídeo, você calculou a segunda derivada para confirmar se o valor do lucro era realmente o máximo.

Tipicamente a segunda derivada nos dá a concavidade da função

Isso na verdade é um Teorema, que é tipicamente conhecido como: "Teste da Segunda Derivada", que resumidamente o seguinte:

"Seja f, uma função definida em um intervalo aberto, de classe C2 ( isto é, a sua segunda derivada existe e é uma função continua), e Xo um ponto crítico: ( f'(Xo) = 0 ), então: "

• Se f''(Xo) > 0: Então Xo é mínimo local
• Se f''(Xo) < 0: Então Xo é máximo local

Isso acontece pois se a segunda derivada é uma função continua, e positiva, temos como significado que a primeira derivada também é crescente no intervalo, e dado que f'(x) = 0, e ao seu redor a função toma valores maiores (por ser crescente), temos que é um ponto de mínimo

Analogamente, se a segunda derivada é negativa, indica que a primeira derivada é decrescente no intervalo, e dado que f'(x) = 0, e ao seu redora função toma valores menores, temos que é um ponto máximo

Vou dar um pequeno exemplo:

Vamos supor a função 3x³ + 8x², temos o gráfico dela:

Como podemos ver, ela tem 1 ponto de máximo e 1 ponto de mínimo, vamos trabalhar primeiramente calculando os pontos críticos, calculando a derivada:

f(x) = 3x³ + 8x²
f'(x) = 9x² + 16x

Igualando a 0, temos que 9x² + 16x = 0, tem 2 raízes:

• x1: 0
• x2: -16/9

Aqui poderíamos tomar 2 possíveis alternativas:

• Pegar o valor, por exemplo, ( -16/ 9) e olhar um valor a esquerda, e outro a direita ( na função original), e perceber que serão menores, constatando que é um ponto de máximo

O mesmo serve para o 0, é até bem visível, que se pegarmos -1 teremos o valor associado 5 e tomando 1 teremos o valor 11, mostrando que realmente é um ponto de mínimo

• Utilizar o teorema da segunda derivada

Então podemos fazer novamente a derivada:

f(x) = 3x³ + 8x² 
f'(x) =  9x² + 16x
-----------------
f''(x) = 18x + 16

E o que fazemos agora é substituir os pontos críticos que encontramos, no caso:

• Para x = 0: Temos que f''(0) = 16 > 0 : Portanto ponto de mínimo
• Para x = ( -16 / 9):

f( -16/9 ) = 18x + 16
f(-16/9) = 18 * (-16/9) + 16
f(-16/9) = (2 * - 16) + 16
f(-16/9) = -16

Portanto, f''(-16/9) = - 16 < 0: Portanto ponto de máximo

Agora com base no que eu disse do gráfico, vou colocar tanto a nossa primeira derivada (em azul), e a segunda derivada( em verde):

E dessa forma podemos ver que quando a segunda derivada é positiva, a primeira derivada também é crescente, e o contrário também é valido :)

Vou deixar aqui dois links que acredito que também auxiliem no estudo:

• Máximos e Mínimos USP: Eu já utilizei bastante essa playlist da USP, e o professor explica e demonstra muito bem o "Teste da Segunda Derivada"
• Concavidade e Inflexão

Em relação aos uploads você pode tentar utilizar algum site como o imgur, ou coisa do genero e postar o link que a gente olha :)

Abraços e Bons Estudos!

Geovani,

Agradeço o detalhamento da sua resposta. O professor explicou isso nos vídeos seguintes. A sua explicação foi realmente show!

Obrigado e boa semana!