Olá, no metodo você só compara a pessoa1 e você não coloca com quem ela deve ser comparada, outra coisa você está guardando o nome de cada pessoa na mesma variavel substituindo a anterior, faça algo próximo ao código abaixo:
var nome1 = prompt("Informe o nome da primeira pessoa");
var pessoa1 = parseInt(prompt(nome1 + " Digite sua idade"));
var nome2 = prompt("Informe o nome da segunda pessoa");
var pessoa2 = parseInt(prompt(nome2 + " Digite sua idade"));
var nome3 = prompt("Informe o nome da terceira pessoa");
var pessoa3 = parseInt(prompt(nome3 + " Digite sua idade"));
if (pessoa1 > pessoa2 && pessoa1 > pessoa3) {
mostrarTela(pessoa1 + "É mais a mais velha");
}
if (pessoa2 > pessoa1 && pessoa2 > pessoa3) {
mostrarTela(pessoa2 + "É mais a mais velha");
}
if (pessoa3 > pessoa1 && pessoa3 > pessoa2) {
mostrarTela(pessoa3 + "É mais a mais velha");
}
Este código pode ser melhorado, para que não se repita tanto a mesma coisa, isolando algumas coisas, mas deixarei você pensar onde pode melhorar usando variaveis.