Para já iniciar o jogo com uma frase random coloquei apenas a chamada inicializaFrase(); aproveitando a function que já existia trocaFraseAleatoria.

inicializaFrase();

function inicializaFrase(){
    $.get("http://localhost:3000/frases", trocaFraseAleatoria);
}

Deixe adicionar somente no placar os textos digitados e válidos inserindo um if com hasclass borda verde

function finalizaJogo() {
    campo.attr("disabled", true);
    campo.toggleClass("campo-desativado");
    if($('textarea').hasClass('borda-verde')){
        inserePlacar();
    }else{
        var falha = $('#erro');
        falha.text("Você falhou na digitação");
        console.log(falha);
        $("#erro").toggle();
    }
}

Uma dúvida, quando damos alt tab o cronometro para de contar, é default esse funcionamento, tem como colocar para não para de contabilizar, como seria? é uma boa saber por exemplo se formos criar uma prova com online com tempo.