Boa tarde amigao! Só deu errado pq voce iniciou a variavel multiplicador dentro da função, e fazendo isso, ela nao funcionaria, pois quando a função é iniciada, o multiplicador teoricamente ainda nao existe.
Melhor assim:
// Tabuada
let numero = parseInt(prompt('Digite o número que deseja saber a tabela: '));
//let numero = 5;
let multiplicador = 1;
// função
function mostrarTabuada(numero) {
while (multiplicador <= 10) {
let resultado = numero * multiplicador;
console.log(`${numero} x ${multiplicador} = ${resultado}`);
multiplicador++
}
}
// Execução
mostrarTabuada(numero);