Adicionei um comando para exibir os ingredientes na tela.

Coloquei um comando no final para exibir a lista de ingredientes na tela (e não só no console).

<meta charset="UTF-8">

<h2>Receitas da Ana</h2>

<script>
    var ingredientes = [];

    var quantidade = parseInt(prompt("Quantos ingredientes você vai adicionar?"));

    var contador = 1;

    while(contador <= quantidade) {

        var ingrediente = prompt("Informe o ingrediente " + contador); 

        var tem = false;

        for(var posicao = 0; posicao < ingredientes.length; posicao++) {

            if(ingredientes[posicao] == ingrediente) {

                tem = true;
                break;
            }
        }

        if(tem == false) {
            ingredientes.push(ingrediente);
            contador++;
        }
    }


    console.log(ingredientes);

    for(var ingrediente of ingredientes) {
        document.write('<big>' +ingrediente+'</big> <br>');}

</script>