Adicionando novos pacientes

Não entendi muito bem sua pergunta, poderia me esclarecer para eu poder te ajudar?

Boa Noite Nikolai

É o seguinte se você abrir a pagina index.html a página vai mostrar Leonardo, Paulo, Stuart e Rafael, se você incluir mais um nome e fechar a página e reabrir a página o novo nome cadastrado não vai se manter, gostaria de saber como manter o novo nome.

Obrigado

Então. O normal em sites com esse tipo de sistema é ter um banco de dados pra salvar essas informações. Assim quando você atualiza a página, você não perde os dados. Mas o curso que você está fazendo é relacionado a front-end e não back-end. Então isso ensina apenas os eventos comuns pra você concluir o curso. Eventos como esse que você fe normalmente são perdidos ao dar F5. mas caso você queria testar, você pode cadastrar uma nova pessoa direto do seu código no seu index.html, abaixo da ultima pessoa cadastrada.

Caso voce queria fazer um sistema web que fique salvo e não se perca ao dar F5, recomendo fazer os cursos de PHP e MySql que estão disponíveis aqui na Alura xD