Solucionado
Além de instalar o driver do MySQL com o comando 'npm install mysql --save' eu precisaria ter o MySql instalado e rodando na minha máquina, correto? O driver só possibilita a conexão com o banco.
Após instalar o MySql, eu conseguiria acessá-lo via cmd com o comando
mysql -u root?
Com o "npm install mysql" você está instalando o driver para que a aplicação possa se comunicar com o banco do mysql. Na hora de criar a conexão você passa as configurações de acesso ao banco, nesse caso o host pode ser sua máquina local ou o IP de outro servidor. Para desenvolvimento é bom você ter instalado o MySQL localmente, você pode instalar o MySQL Workbench que já vem com o servidor mysql e também o client para rodar via linha de comando https://dev.mysql.com/downloads/workbench/