A organizadora de eventos e seu irmão prodígio.

A baixo o código com a alteração:

<meta charset="UTF-8">
<script>

    function pulaLinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

    var totalDeEventos = parseInt(prompt("Informe o total de eventos"));

    var contador = 1;
    //essa linha foi retirada de dentro do Loop
    var totalGastoComEventos = 0;

    while(contador <= totalDeEventos) {


        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }

    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;

    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>

Oi Edson,

É isso mesmo. totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto; está dentro do while, o que a cada looping zera o contador.